Elementarmathematik Beispiele

$1 = \frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9} = 1$ um.

$\frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9} = 1$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{4} + 9, 1$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x^{4} + 9, 1$

Schritt 2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{4} + 9$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9} = 1$ mit $x^{4} + 9$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9} = 1$ mit $x^{4} + 9$ .

$\frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9} (x^{4} + 9) = 1 (x^{4} + 9)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4} + 9$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{2}}{x^{4} + 9} (x^{4} + 9) = 1 (x^{4} + 9)$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 x^{2} = 1 (x^{4} + 9)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $x^{4} + 9$ mit $1$ .

$6 x^{2} = x^{4} + 9$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} - x^{4} = 9$

Schritt 4.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} - x^{4} - 9 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $6 x^{2} - x^{4} - 9$ heraus.

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Schritt 4.3.1.1

Stelle $6 x^{2}$ und $- x^{4}$ um.

$- x^{4} + 6 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$- (x^{4}) + 6 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$- (x^{4}) - (- 6 x^{2}) - 9 = 0$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$- (x^{4}) - (- 6 x^{2}) - 1 \cdot 9 = 0$

Schritt 4.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - (- 6 x^{2})$ heraus.

$- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1 \cdot 9 = 0$

Schritt 4.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1 (9)$ heraus.

$- (x^{4} - 6 x^{2} + 9) = 0$

Schritt 4.3.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- ({(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} + 9) = 0$

Schritt 4.3.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- (u^{2} - 6 u + 9) = 0$

Schritt 4.3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- (u^{2} - 6 u + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Schritt 4.3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 3$ .

$- {(u - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.3.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- {(x^{2} - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $- {(x^{2} - 3)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x^{2} - 3)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x^{2} - 3)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x^{2} - 3)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.4.2.2

Dividiere ${(x^{2} - 3)}^{2}$ durch $1$ .

${(x^{2} - 3)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x^{2} - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.5

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 4.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 4.6.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 4.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 4.6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 4.6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$