Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x} - 3 e^{x}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} - 3 e^{x} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 3 e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3$ heraus.

$e^{x} (x^{2} - 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{2} e^{- 4} - 3 e^{- 4} < 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $0.2381033$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} e^{0} - 3 e^{0} < 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{2} e^{4} - 3 e^{4} < 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $709.77595043$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \sqrt{3}$ Falsch

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ Wahr

$x > \sqrt{3}$ Falsch

$x < - \sqrt{3}$ Falsch

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ Wahr

$x > \sqrt{3}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Schritt 11