Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} < 2 x + 8$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 2 x < 8$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 2 x = 8$

Schritt 3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 2$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{2} < 2 (- 4) + 8$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $16$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} < 2 (0) + 8$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(6)}^{2} < 2 (6) + 8$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $36$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $20$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 < x < 4$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 2 < x < 4$

Intervallschreibweise:

$(- 2, 4)$

Schritt 13