Elementarmathematik Beispiele

$\frac{4}{5} > 2 - \frac{3}{x}$

Schritt 1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$2 - \frac{3}{x} < \frac{4}{5}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{3}{x} < \frac{4}{5} - 2$

Schritt 2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{3}{x} < \frac{4}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{3}{x} < \frac{4}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3}{x} < \frac{4 - 2 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$- \frac{3}{x} < \frac{4 - 10}{5}$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$- \frac{3}{x} < \frac{- 6}{5}$

Schritt 2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x} < - \frac{6}{5}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$- \frac{3}{x} x = - \frac{6}{5} x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{x} x = - \frac{6}{5} x$

Schritt 4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3}{x} x = - \frac{6}{5} x$

Schritt 4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 = - \frac{6}{5} x$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \frac{6}{5} x$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{6}{5}$ .

$- 3 = - \frac{x \cdot 6}{5}$

Schritt 4.2.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 3 = - \frac{6 x}{5}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{6 x}{5} = - 3$ um.

$- \frac{6 x}{5} = - 3$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{5}{6}$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{6 x}{5}) = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $- \frac{5}{6} (- \frac{6 x}{5})$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{6}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{6} (- \frac{6 x}{5}) = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6 x}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{- 6 x}{5} = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Schritt 5.3.1.1.1.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{5 (- 1)}{6} \cdot \frac{- 6 x}{5} = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Schritt 5.3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot - 1}{6} \cdot \frac{- 6 x}{5} = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Schritt 5.3.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{6} (- 6 x) = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Schritt 5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{- 1}{6} (6 (- x)) = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{6} (6 (- x)) = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Schritt 5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - x = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Schritt 5.3.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 5.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Schritt 5.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = - \frac{5}{6} \cdot - 3$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $- \frac{5}{6} \cdot - 3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{6}$ in den Zähler.

$x = \frac{- 5}{6} \cdot - 3$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{- 5}{3 (2)} \cdot - 3$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$x = \frac{- 5}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 5.3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 5}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Schritt 5.3.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

Schritt 5.3.2.1.2

Kombiniere $\frac{- 5}{2}$ und $- 1$ .

$x = \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Schritt 5.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{6}{5} + \frac{3}{x}$ .

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{3}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 6.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{5} > 2 - \frac{3}{- 2}$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $0.8$ ist nicht größer als die rechte Seite $3.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{5} > 2 - \frac{3}{1}$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $0.8$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{5} > 2 - \frac{3}{5}$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $0.8$ ist nicht größer als die rechte Seite $1.4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$x > \frac{5}{2}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$x > \frac{5}{2}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < \frac{5}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < \frac{5}{2}$

Intervallschreibweise:

$(0, \frac{5}{2})$

Schritt 11