Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (3 x - 6) < 2$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{3} (3 x - 6) = 2$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $\log_{3} (3 x - 6) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{2} = 3 x - 6$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 x - 6 = 3^{2}$ um.

$3 x - 6 = 3^{2}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$3 x - 6 = 9$

Schritt 2.2.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 9 + 6$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $9$ und $6$ .

$3 x = 15$

Schritt 2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 15$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 15$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$

Schritt 2.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{15}{3}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.3.1

Dividiere $15$ durch $3$ .

$x = 5$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{3} (3 x - 6) - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{3} (3 x - 6)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$3 x - 6 > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Addiere $6$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x > 6$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x > 6$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x > 6$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{6}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} > \frac{6}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{6}{3}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere $6$ durch $3$ .

$x > 2$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(2, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} (3 (0) - 6) < 2$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} (3 (4) - 6) < 2$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $1.63092975$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} (3 (8) - 6) < 2$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $2.63092975$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 < x < 5$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$2 < x < 5$

Intervallschreibweise:

$(2, 5)$

Schritt 8