Elementarmathematik Beispiele

$\log_{2} (3 x - 7) < 3$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{2} (3 x - 7) = 3$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\log_{2} (3 x - 7) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$2^{3} = 3 x - 7$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 x - 7 = 2^{3}$ um.

$3 x - 7 = 2^{3}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$3 x - 7 = 8$

Schritt 2.2.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 8 + 7$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $8$ und $7$ .

$3 x = 15$

Schritt 2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 15$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 15$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$

Schritt 2.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{15}{3}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.3.1

Dividiere $15$ durch $3$ .

$x = 5$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{2} (3 x - 7) - 3$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{2} (3 x - 7)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$3 x - 7 > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $7$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x > 7$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x > 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x > 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{7}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} > \frac{7}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{7}{3}$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(\frac{7}{3}, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{7}{3}$

$\frac{7}{3} < x < 5$

$x > 5$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{7}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{7}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} (3 (0) - 7) < 3$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{7}{3} < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{7}{3} < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} (3 (4) - 7) < 3$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $2.32192809$ ist kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{2} (3 (8) - 7) < 3$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $4.08746284$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{7}{3}$ Falsch

$\frac{7}{3} < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < \frac{7}{3}$ Falsch

$\frac{7}{3} < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{7}{3} < x < 5$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{7}{3} < x < 5$

Intervallschreibweise:

$(\frac{7}{3}, 5)$

Schritt 8