Elementarmathematik Beispiele

$\cos (\frac{5 π}{24})$

Schritt 1

Schreibe $\frac{5 π}{24}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cos (\frac{\frac{5 π}{12}}{2})$

Schritt 2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{12})}{2}}$

Schritt 3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{12})}{2}}$

Schritt 4

Ermittle den genauen Wert von $\cos (\frac{5 π}{12})$ anhand der Summen- und Differenzidentitäten.

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Schritt 4.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 4.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 4.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 4.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 4.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 4.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 4.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 4.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 4.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 4.7.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 4.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 4.7.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 4.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{2}}$

Schritt 4.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{2}}$

Schritt 4.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Schritt 5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{4}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 5.4

Multipliziere $\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$

Schritt 5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$ als $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ um.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 5.6.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.8.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 5.8.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 5.8.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 5.8.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.8.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.8.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.8.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.8.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.8.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.8.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.8.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.8.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 5.8.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

Dezimalform:

$0.79335334 \dots$