Elementarmathematik Beispiele

$\csc (\arctan (\frac{1}{x}))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{1}{x})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{1}{x})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{1}{x})$ verläuft. Folglich ist $\csc (\arctan (\frac{1}{x}))$ $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}}{\frac{1}{x}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}}{\frac{1}{x}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} x$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$\sqrt{1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}} x$

Schritt 3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} x$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}} x$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}} x$

Schritt 5

Schreibe $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ als ${(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 1)$ um.

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Schritt 5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x^{2} + 1$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2}}} x$

Schritt 5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $x^{2}$ aus $x^{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} \cdot 1}} x$

Schritt 5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (x^{2} + 1)}{x^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} (x^{2} + 1)} x$

Schritt 6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{x} \sqrt{x^{2} + 1} x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} x$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} x$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{x^{2} + 1}$