Elementarmathematik Beispiele

$\sec (\arctan (\frac{1}{2} x))$

Schritt 1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{1}{2} x)$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{1}{2} x)$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{1}{2} x)$ verläuft. Folglich ist $\sec (\arctan (\frac{1}{2} x))$ $\sqrt{1 + {(\frac{1}{2} x)}^{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{1}{2} x)}^{2}}$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ um.

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Schritt 5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $4 + x^{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}$

Schritt 6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$