Elementarmathematik Beispiele

$\frac{2 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2}{3} x^{3} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2}{3} \cdot x^{3} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{2}{3} \cdot x^{3} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $\frac{2}{3} \cdot x^{3} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}) + x (\frac{2}{3} \cdot x^{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}) + x (\frac{2}{3} \cdot x^{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}})$ heraus.

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2}{3} \cdot x^{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{2}}{3} {(1 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{2}}{3} \cdot \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.4

Kombinieren.

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{2} \cdot 1}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{2}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.6

Um $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{2}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.7

Kombiniere $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x (\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{2}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{2}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.9

Stelle die Terme um.

$\frac{x \frac{2 x^{2} + 2 \cdot 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10

Schreibe $\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

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Schritt 1.10.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{x \frac{2 (x^{2}) + 2 \cdot 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{x \frac{2 (x^{2}) + 2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})$ heraus.

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2

Multipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.10.2.1

Bewege ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{3}})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{3}})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 {(1 - x^{2})}^{1})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.3

Vereinfache $3 {(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 (1 - x^{2}))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 \cdot 1 + 3 (- x^{2}))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 + 3 (- x^{2}))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{x \frac{2 (x^{2} + 3 - 3 x^{2})}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.7

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{x \frac{2 (- 2 x^{2} + 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 (- 2 x^{2} + 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{x (2 (- 2 x^{2} + 3))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Kombinieren.

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3) \cdot 1}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Multipliziere ${(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege ${(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3) \cdot 1}{3 ({(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3) \cdot 1}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3) \cdot 1}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Schritt 6.4

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3) \cdot 1}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $2 x (- 2 x^{2} + 3)$ mit $1$ .

$\frac{2 x (- 2 x^{2} + 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x (- (2 x^{2}) + 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{2 x (- (2 x^{2}) - 1 (- 3))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{2 x (- (2 x^{2} - 3))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Schreibe $- (2 x^{2} - 3)$ als $- 1 (2 x^{2} - 3)$ um.

$\frac{2 x (- 1 (2 x^{2} - 3))}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 x) (2 x^{2} - 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 11.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{(2 x) (2 x^{2} - 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$ um.

$- \frac{2 x (2 x^{2} - 3)}{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{3}}}$