Elementarmathematik Beispiele

$8 - \frac{x^{3}}{x^{2} - 4 x + 4}$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$8 - \frac{x^{3}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Schritt 1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 1.3

Schreibe das Polynom neu.

$8 - \frac{x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Schritt 1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$8 - \frac{x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 {(x - 2)}^{2} - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$\frac{8 ((x - 2) (x - 2)) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{8 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{8 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{8 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{8 (x^{2} - 4 x + 4) - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{2} + 8 (- 4 x) + 8 \cdot 4 - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$\frac{8 x^{2} - 32 x + 8 \cdot 4 - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 32 x + 32 - x^{3}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 4.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{3} + 8 x^{2} - 32 x + 32}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{3}$ heraus.

$\frac{- (x^{3}) + 8 x^{2} - 32 x + 32}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{3}) - (- 8 x^{2}) - 32 x + 32}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3}) - (- 8 x^{2})$ heraus.

$\frac{- (x^{3} - 8 x^{2}) - 32 x + 32}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 32 x$ heraus.

$\frac{- (x^{3} - 8 x^{2}) - (32 x) + 32}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} - 8 x^{2}) - (32 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x) + 32}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.6

Schreibe $32$ als $- 1 (- 32)$ um.

$\frac{- (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x) - 1 (- 32)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x) - 1 (- 32)$ heraus.

$\frac{- (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 32)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.8.1

Schreibe $- (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 32)$ als $- 1 (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 32)$ um.

$\frac{- 1 (x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 32)}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 5.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 32}{{(x - 2)}^{2}}$