Elementarmathematik Beispiele

$\cos^{2} (3 θ) - \sin^{2} (3 θ)$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (3 θ)$ und $b = \sin (3 θ)$ .

$(\cos (3 θ) + \sin (3 θ)) (\cos (3 θ) - \sin (3 θ))$

Schritt 2

Multipliziere $(\cos (3 θ) + \sin (3 θ)) (\cos (3 θ) - \sin (3 θ))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (3 θ) (\cos (3 θ) - \sin (3 θ)) + \sin (3 θ) (\cos (3 θ) - \sin (3 θ))$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (3 θ) \cos (3 θ) + \cos (3 θ) (- \sin (3 θ)) + \sin (3 θ) (\cos (3 θ) - \sin (3 θ))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (3 θ) \cos (3 θ) + \cos (3 θ) (- \sin (3 θ)) + \sin (3 θ) \cos (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (3 θ) \cos (3 θ) + \cos (3 θ) (- \sin (3 θ)) + \sin (3 θ) \cos (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$ .

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Schritt 3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (3 θ) (- \sin (3 θ))$ und $\sin (3 θ) \cos (3 θ)$ neu an.

$\cos (3 θ) \cos (3 θ) - \cos (3 θ) \sin (3 θ) + \cos (3 θ) \sin (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Schritt 3.1.2

Addiere $- \cos (3 θ) \sin (3 θ)$ und $\cos (3 θ) \sin (3 θ)$ .

$\cos (3 θ) \cos (3 θ) + 0 + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Schritt 3.1.3

Addiere $\cos (3 θ) \cos (3 θ)$ und $0$ .

$\cos (3 θ) \cos (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $\cos (3 θ) \cos (3 θ)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $\cos (3 θ)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (3 θ) \cos (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $\cos (3 θ)$ mit $1$ .

$\cos^{1} (3 θ) \cos^{1} (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Schritt 3.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (3 θ)}^{1 + 1} + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Schritt 3.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (3 θ) + \sin (3 θ) (- \sin (3 θ))$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (3 θ) - \sin (3 θ) \sin (3 θ)$

Schritt 3.2.3

Multipliziere $- \sin (3 θ) \sin (3 θ)$ .

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Schritt 3.2.3.1

Potenziere $\sin (3 θ)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (3 θ) - (\sin^{1} (3 θ) \sin (3 θ))$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $\sin (3 θ)$ mit $1$ .

$\cos^{2} (3 θ) - (\sin^{1} (3 θ) \sin^{1} (3 θ))$

Schritt 3.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (3 θ) - {\sin (3 θ)}^{1 + 1}$

Schritt 3.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (3 θ) - \sin^{2} (3 θ)$

Schritt 4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 (3 θ))$

Schritt 5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\cos (6 θ)$