Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Schritt 1

Um $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Schritt 2

Um $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sin (t) (\cos (t) + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ mit $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ mit $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{(\cos (t) + 1) \sin (t)}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(\cos (t) + 1) \sin (t)$ um.

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (t) (\cos (t) + 1) - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (t) \cdot 1$ und $- 1 \cos (t)$ neu an.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 1 \cos (t) - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $1 \cos (t)$ von $1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 0 - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.2.3

Addiere $\cos (t) \cos (t)$ und $0$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere $\cos (t) \cos (t)$ .

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Schritt 5.3.1.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.3.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.3.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.4

Stelle $\cos^{2} (t)$ und $- 1$ um.

$\frac{- 1 + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (t)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.8

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (t))$ als $- (1 - \cos^{2} (t))$ um.

$\frac{- (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.9

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.10

Multipliziere $\sin (t) \sin (t)$ .

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Schritt 5.10.1

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.10.2

Potenziere $\sin (t)$ mit $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \sin^{2} (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 5.11

Addiere $- \sin^{2} (t)$ und $\sin^{2} (t)$ .

$\frac{0}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Schritt 6

Separiere Brüche.

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \csc (t)$

Schritt 8

Dividiere $0$ durch $\cos (t) + 1$ .

$0 \csc (t)$

Schritt 9

Mutltipliziere $0$ mit $\csc (t)$ .

$0$