Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$

Schritt 1

Um $\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} \cdot \frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$

Schritt 2

Um $\frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)} \cdot \frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)} \cdot \frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x) - \cos (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ mit $\frac{\cos (x) + \cos (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ .

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))}{(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))} + \frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)} \cdot \frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x) - \sin (y)}{\cos (x) + \cos (y)}$ mit $\frac{\sin (x) + \sin (y)}{\sin (x) + \sin (y)}$ .

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))}{(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))} + \frac{(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(\sin (x) + \sin (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ um.

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))} + \frac{(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(\cos (x) - \cos (y)) (\cos (x) + \cos (y))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \cos (y)) - \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (y) (\cos (x) + \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (y) \cos (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (y) \cos (x) - \cos (y) \cos (y)$ .

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Schritt 5.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (x) \cos (y)$ und $- \cos (y) \cos (x)$ neu an.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (y) - \cos (x) \cos (y) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $\cos (x) \cos (y)$ von $\cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) + 0 - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.2.3

Addiere $\cos (x) \cos (x)$ und $0$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 5.3.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.3.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.3.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos (y) \cos (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.3.2

Multipliziere $- \cos (y) \cos (y)$ .

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Schritt 5.3.2.1

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (\cos^{1} (y) \cos (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.3.2.2

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.3.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x) - {\cos (y)}^{1 + 1} + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.3.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + (\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.4

Multipliziere $(\sin (x) - \sin (y)) (\sin (x) + \sin (y))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) (\sin (x) + \sin (y)) - \sin (y) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (y) (\sin (x) + \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)$ .

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Schritt 5.5.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sin (x) \sin (y)$ und $- \sin (y) \sin (x)$ neu an.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (y) - \sin (x) \sin (y) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $\sin (x) \sin (y)$ von $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) + 0 - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.5.3

Addiere $\sin (x) \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin (x) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 5.6.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.6.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.6.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + {\sin (x)}^{1 + 1} - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.6.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin (y) \sin (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.6.2

Multipliziere $- \sin (y) \sin (y)$ .

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Schritt 5.6.2.1

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.6.2.2

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.6.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - {\sin (y)}^{1 + 1}}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.6.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7

Schreibe $\cos^{2} (x) - \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (y)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.7.1

Gruppiere die Terme um.

$\frac{- \cos^{2} (y) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.2

Ordne Terme um.

$\frac{- \cos^{2} (y) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos^{2} (y) + 1 - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.4

Schreibe $1 - \sin^{2} (y)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.7.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{- \cos^{2} (y) + 1^{2} - \sin^{2} (y)}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (y)$ .

$\frac{- \cos^{2} (y) + (1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (y) + (1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))$ heraus.

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Schritt 5.7.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (y)$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (y)) + (1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $(1 + \sin (y)) (1 - \sin (y))$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (y)) - ((- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos^{2} (y)) - ((- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y)))$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (y) + (- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.6

Multipliziere $(- 1 - \sin (y)) (1 - \sin (y))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.7.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1 - \sin (y)) - \sin (y) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (y)) - \sin (y) (1 - \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (y)) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.7.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 - 1 (- \sin (y)) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.7.1.2

Multipliziere $- 1 (- \sin (y))$ .

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Schritt 5.7.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + 1 \sin (y) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.7.1.2.2

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) \cdot 1 - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) - \sin (y) (- \sin (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.7.1.4

Multipliziere $- \sin (y) (- \sin (y))$ .

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Schritt 5.7.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + 1 \sin (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.7.1.4.2

Mutltipliziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.7.1.4.3

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin^{1} (y) \sin (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.7.1.4.4

Potenziere $\sin (y)$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin^{1} (y) \sin^{1} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.7.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + {\sin (y)}^{1 + 1})}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.7.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin (y) - \sin (y) + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.7.2

Subtrahiere $\sin (y)$ von $\sin (y)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + 0 + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.7.3

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.8

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1) + \sin^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (y)$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (y))$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - 1 (1 - \sin^{2} (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.11

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (y))$ als $- (1 - \sin^{2} (y))$ um.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - (1 - \sin^{2} (y)))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.12

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- (\cos^{2} (y) - \cos^{2} (y))}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 5.7.13

Subtrahiere $\cos^{2} (y)$ von $\cos^{2} (y)$ .

$\frac{- 0}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 6

Multipliziere mit null.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))}$

Schritt 6.2

Dividiere $0$ durch $(\cos (x) + \cos (y)) (\sin (x) + \sin (y))$ .

$0$