Elementarmathematik Beispiele

$\frac{9 x + 2}{3 x^{2} - 2 x - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{9 x + 2}{3 x^{2} - 2 (x) - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $- 2$ um als $4$ plus $- 6$

$\frac{9 x + 2}{3 x^{2} + (4 - 6) x - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 x + 2}{3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{9 x + 2}{(3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{9 x + 2}{x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4)} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 4$ .

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x^{2} + x - 4}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x^{2} + 1 x - 4}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $1$ um als $- 3$ plus $4$

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x^{2} + (- 3 + 4) x - 4}$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x^{2} - 3 x + 4 x - 4}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{(3 x^{2} - 3 x) + 4 x - 4}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{3 x (x - 1) + 4 (x - 1)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} + \frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)}$

Schritt 2

Um $\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)}$

Schritt 3

Um $\frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 x + 4) (x - 2) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{9 x + 2}{(3 x + 4) (x - 2)}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(9 x + 2) (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 2) (x - 1)} + \frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{7}{(x - 1) (3 x + 4)}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(9 x + 2) (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 2) (x - 1)} + \frac{7 (x - 2)}{(x - 1) (3 x + 4) (x - 2)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(3 x + 4) (x - 2) (x - 1)$ um.

$\frac{(9 x + 2) (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)} + \frac{7 (x - 2)}{(x - 1) (3 x + 4) (x - 2)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (3 x + 4) (x - 2)$ um.

$\frac{(9 x + 2) (x - 1)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)} + \frac{7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(9 x + 2) (x - 1) + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(9 x + 2) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 x (x - 1) + 2 (x - 1) + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 x \cdot x + 9 x \cdot - 1 + 2 (x - 1) + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 x \cdot x + 9 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{9 (x \cdot x) + 9 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{9 x^{2} + 9 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{9 x^{2} - 9 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{9 x^{2} - 9 x + 2 x - 2 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 9 x$ und $2 x$ .

$\frac{9 x^{2} - 7 x - 2 + 7 (x - 2)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 x^{2} - 7 x - 2 + 7 x + 7 \cdot - 2}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$\frac{9 x^{2} - 7 x - 2 + 7 x - 14}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.5

Addiere $- 7 x$ und $7 x$ .

$\frac{9 x^{2} + 0 - 2 - 14}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.6

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{9 x^{2} - 2 - 14}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.7

Subtrahiere $14$ von $- 2$ .

$\frac{9 x^{2} - 16}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.8

Schreibe $9 x^{2} - 16$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.8.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$\frac{{(3 x)}^{2} - 16}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.8.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{{(3 x)}^{2} - 4^{2}}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 6.8.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 4$ .

$\frac{(3 x + 4) (3 x - 4)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 4$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x + 4) (3 x - 4)}{(3 x + 4) (x - 1) (x - 2)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)}$