Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3}{x^{2} + x - 2} - \frac{5}{x^{2} - x - 6}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{5}{x^{2} - x - 6}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$

Schritt 2

Um $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$

Schritt 3

Um $- \frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{5 (x - 1)}{(x - 3) (x + 2) (x - 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$ um.

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)} - \frac{5 (x - 1)}{(x - 3) (x + 2) (x - 1)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(x - 3) (x + 2) (x - 1)$ um.

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)} - \frac{5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (x - 3) - 5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 3 - 5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 - 5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x - 9 - 5 x - 5 \cdot - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x - 9 - 5 x + 5}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $5 x$ von $3 x$ .

$\frac{- 2 x - 9 + 5}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 6.6

Addiere $- 9$ und $5$ .

$\frac{- 2 x - 4}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x - 4$ heraus.

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Schritt 6.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x) - 4}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 6.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (- x) + 2 (- 2)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 6.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (- 2)$ heraus.

$\frac{2 (- x - 2)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x - 2$ und $x + 2$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) - 2)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 7.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{2 (- (x + 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 7.4

Schreibe $- (x + 2)$ als $- 1 (x + 2)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x + 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (x + 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Schritt 7.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{(x - 1) (x - 3)}$

Schritt 8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{(x - 1) (x - 3)}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{(x - 1) (x - 3)}$