Elementarmathematik Beispiele

$\frac{6}{2 r (r + 6) (r - 6)} - \frac{r - 3}{3}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 r (r + 6) (r - 6)} - \frac{r - 3}{3}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 r (r + 6) (r - 6)$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 ((r (r + 6)) (r - 6))} - \frac{r - 3}{3}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 ((r (r + 6)) (r - 6))} - \frac{r - 3}{3}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{(r (r + 6)) (r - 6)} - \frac{r - 3}{3}$

$\frac{3}{r (r + 6) (r - 6)} - \frac{r - 3}{3}$

Schritt 2

Um $\frac{3}{r (r + 6) (r - 6)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{r (r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{r - 3}{3}$

Schritt 3

Um $- \frac{r - 3}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{r (r + 6) (r - 6)}{r (r + 6) (r - 6)}$ .

$\frac{3}{r (r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{r - 3}{3} \cdot \frac{r (r + 6) (r - 6)}{r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $r (r + 6) (r - 6) \cdot 3$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{r (r + 6) (r - 6)}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{r (r + 6) (r - 6) \cdot 3} - \frac{r - 3}{3} \cdot \frac{r (r + 6) (r - 6)}{r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{r - 3}{3}$ mit $\frac{r (r + 6) (r - 6)}{r (r + 6) (r - 6)}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{r (r + 6) (r - 6) \cdot 3} - \frac{(r - 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 (r (r + 6) (r - 6))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $r (r + 6) (r - 6) \cdot 3$ um.

$\frac{3 \cdot 3}{3 r (r + 6) (r - 6)} - \frac{(r - 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 (r (r + 6) (r - 6))}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $3 (r (r + 6) (r - 6))$ um.

$\frac{3 \cdot 3}{3 r (r + 6) (r - 6)} - \frac{(r - 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \cdot 3 - (r - 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 - (r - 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 + (- r - - 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r (r + 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 + (- r + 3) ((r \cdot r + r \cdot 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\frac{9 + (- r + 3) ((r^{2} + r \cdot 6) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.6

Bringe $6$ auf die linke Seite von $r$ .

$\frac{9 + (- r + 3) ((r^{2} + 6 \cdot r) (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.7

Multipliziere $(r^{2} + 6 r) (r - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{2} (r - 6) + 6 r (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{2} r + r^{2} \cdot - 6 + 6 r (r - 6))}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{2} r + r^{2} \cdot - 6 + 6 r \cdot r + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.8.1.1

Multipliziere $r^{2}$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.8.1.1.1

Mutltipliziere $r^{2}$ mit $r$ .

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Schritt 6.8.1.1.1.1

Potenziere $r$ mit $1$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{2} r^{1} + r^{2} \cdot - 6 + 6 r \cdot r + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.8.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{2 + 1} + r^{2} \cdot - 6 + 6 r \cdot r + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.8.1.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} + r^{2} \cdot - 6 + 6 r \cdot r + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.8.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $r^{2}$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} - 6 \cdot r^{2} + 6 r \cdot r + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.8.1.3

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.8.1.3.1

Bewege $r$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} - 6 r^{2} + 6 (r \cdot r) + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.8.1.3.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} - 6 r^{2} + 6 r^{2} + 6 r \cdot - 6)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.8.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $6$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} - 6 r^{2} + 6 r^{2} - 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.8.2

Addiere $- 6 r^{2}$ und $6 r^{2}$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} + 0 - 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.8.3

Addiere $r^{3}$ und $0$ .

$\frac{9 + (- r + 3) (r^{3} - 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.9

Multipliziere $(- r + 3) (r^{3} - 36 r)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 - r (r^{3} - 36 r) + 3 (r^{3} - 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 - r \cdot r^{3} - r (- 36 r) + 3 (r^{3} - 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 - r \cdot r^{3} - r (- 36 r) + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.10.1

Multipliziere $r$ mit $r^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.10.1.1

Bewege $r^{3}$ .

$\frac{9 - (r^{3} r) - r (- 36 r) + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.10.1.2

Mutltipliziere $r^{3}$ mit $r$ .

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Schritt 6.10.1.2.1

Potenziere $r$ mit $1$ .

$\frac{9 - (r^{3} r^{1}) - r (- 36 r) + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 - r^{3 + 1} - r (- 36 r) + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.10.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{9 - r^{4} - r (- 36 r) + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.10.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{9 - r^{4} - 1 \cdot - 36 r \cdot r + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.10.3

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.10.3.1

Bewege $r$ .

$\frac{9 - r^{4} - 1 \cdot - 36 (r \cdot r) + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.10.3.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\frac{9 - r^{4} - 1 \cdot - 36 r^{2} + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.10.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 36$ .

$\frac{9 - r^{4} + 36 r^{2} + 3 r^{3} + 3 (- 36 r)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.10.5

Mutltipliziere $- 36$ mit $3$ .

$\frac{9 - r^{4} + 36 r^{2} + 3 r^{3} - 108 r}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 6.11

Stelle die Terme um.

$\frac{- r^{4} + 3 r^{3} + 36 r^{2} - 108 r + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- r^{4}$ heraus.

$\frac{- (r^{4}) + 3 r^{3} + 36 r^{2} - 108 r + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 r^{3}$ heraus.

$\frac{- (r^{4}) - (- 3 r^{3}) + 36 r^{2} - 108 r + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (r^{4}) - (- 3 r^{3})$ heraus.

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3}) + 36 r^{2} - 108 r + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $36 r^{2}$ heraus.

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3}) - (- 36 r^{2}) - 108 r + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (r^{4} - 3 r^{3}) - (- 36 r^{2})$ heraus.

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2}) - 108 r + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 108 r$ heraus.

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2}) - (108 r) + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2}) - (108 r)$ heraus.

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r) + 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 7.8

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r) - 1 (- 9)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r) - 1 (- 9)$ heraus.

$\frac{- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r - 9)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 7.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.10.1

Schreibe $- (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r - 9)$ als $- 1 (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r - 9)$ um.

$\frac{- 1 (r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r - 9)}{3 r (r + 6) (r - 6)}$

Schritt 7.10.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{r^{4} - 3 r^{3} - 36 r^{2} + 108 r - 9}{3 r (r + 6) (r - 6)}$