Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{1 + i} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1}{1 + 1 i}$ mit der Konjugierten von $1 + 1 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{1}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.1

Kombinieren.

$\frac{1 (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $1 - i$ mit $1$ .

$\frac{1 - i}{(1 + 1 i) (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere $(1 + 1 i) (1 - i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 - i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 - i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i i} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.9

Addiere $- 1 i$ und $1 i$ .

$\frac{1 - i}{1 + 0 - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.2.10

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1 - i}{1 - i^{2}} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1 - i}{1 - - 1} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 - i}{1 + 1} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 - i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.3

Zerlege den Bruch $\frac{1 - i}{2}$ in zwei Brüche.

$\frac{1}{2} + \frac{- i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{1 - i}$

Schritt 1.5

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1}{1 - i}$ mit der Konjugierten von $1 - i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (\frac{1}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i})$

Schritt 1.6

Multipliziere.

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Schritt 1.6.1

Kombinieren.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $1 + i$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{(1 - i) (1 + i)}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.6.3.1

Multipliziere $(1 - i) (1 + i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Schritt 1.6.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Schritt 1.6.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Schritt 1.6.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.6.3.2.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Schritt 1.6.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i i}$

Schritt 1.6.3.2.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Schritt 1.6.3.2.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Schritt 1.6.3.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Schritt 1.6.3.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Schritt 1.6.3.2.7

Subtrahiere $i$ von $1 i$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 0 - i^{2}}$

Schritt 1.6.3.2.8

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 - i^{2}}$

Schritt 1.6.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 - - 1}$

Schritt 1.6.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{1 + 1}$

Schritt 1.6.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1 + i}{2}$

Schritt 1.7

Zerlege den Bruch $\frac{1 + i}{2}$ in zwei Brüche.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

Schritt 1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} - \frac{i}{2} - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - i - 1 - i}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 - i - i}{2}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $i$ von $0$ .

$\frac{- i - i}{2}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $i$ von $- i$ .

$\frac{- 2 i}{2}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 i$ heraus.

$\frac{2 (- i)}{2}$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- i)}{2 (1)}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- i)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- i}{1}$

Schritt 2.4.2.4

Dividiere $- i$ durch $1$ .

$- i$