Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 3 x}{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x - 3 x}{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3}{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 3$ heraus.

$\frac{x (x - 3)}{x^{3} - 4 x^{2} + 3 x} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 4 x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x (x - 3)}{x \cdot x^{2} - 4 x^{2} + 3 x} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (x - 3)}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + 3 x} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x (x - 3)}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 3} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 4 x)$ heraus.

$\frac{x (x - 3)}{x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 3} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 3$ heraus.

$\frac{x (x - 3)}{x (x^{2} - 4 x + 3)} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x^{2} - 4 x + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x (x - 3)}{x ((x - 3) (x - 1))} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

$\frac{x (x - 3)}{x (x - 3) (x - 1)} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - 3)}{x (x - 3) (x - 1)} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 3}{(x - 3) (x - 1)} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 3}{(x - 3) (x - 1)} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 1.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2

Um $\frac{1}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 1)$ um.

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 1 + 2}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)}$