Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1 - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - \cos^{4} (x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Schreibe $\cos^{4} (x)$ als ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ um.

$\frac{1^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}}{1 + \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1^{2} - \cos^{2} (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Schritt 1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{1 + \cos^{2} (x)}$

Schritt 2.2

Dividiere $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ durch $1$ .

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$

Schritt 3

Multipliziere $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- \cos (x)$ mit $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Schritt 4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \cos (x)$

Schritt 4.1.5

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 4.1.5.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Schritt 4.1.5.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Schritt 4.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}$

Schritt 4.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x)$

Schritt 4.2

Addiere $- \cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$1 + 0 - \cos^{2} (x)$

Schritt 4.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - \cos^{2} (x)$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin^{2} (x)$