Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\frac{r}{s} + \frac{s}{r}}{\frac{r^{2}}{s^{2}} - \frac{s^{2}}{r^{2}}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $r^{2} s^{2}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{r}{s} + \frac{s}{r}}{\frac{r^{2}}{s^{2}} - \frac{s^{2}}{r^{2}}}$ mit $\frac{r^{2} s^{2}}{r^{2} s^{2}}$ .

$\frac{r^{2} s^{2}}{r^{2} s^{2}} \cdot \frac{\frac{r}{s} + \frac{s}{r}}{\frac{r^{2}}{s^{2}} - \frac{s^{2}}{r^{2}}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{r^{2} s^{2} (\frac{r}{s} + \frac{s}{r})}{r^{2} s^{2} (\frac{r^{2}}{s^{2}} - \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{r^{2} s^{2} \frac{r}{s} + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $s$ aus $r^{2} s^{2}$ heraus.

$\frac{s (r^{2} s) \frac{r}{s} + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{s (r^{2} s) \frac{r}{s} + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r^{2} s r + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.2

Potenziere $r$ mit $1$ .

$\frac{r^{1} r^{2} s + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{r^{1 + 2} s + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{r^{3} s + r^{2} s^{2} \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $r$ aus $r^{2} s^{2}$ heraus.

$\frac{r^{3} s + r (r s^{2}) \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{3} s + r (r s^{2}) \frac{s}{r}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r^{3} s + r s^{2} s}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.6

Potenziere $s$ mit $1$ .

$\frac{r^{3} s + r (s^{1} s^{2})}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{r^{3} s + r s^{1 + 2}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.8

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{2} s^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s^{2}$ .

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Schritt 3.9.1

Faktorisiere $s^{2}$ aus $r^{2} s^{2}$ heraus.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{s^{2} r^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{s^{2} r^{2} \frac{r^{2}}{s^{2}} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{2} r^{2} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.10

Multipliziere $r^{2}$ mit $r^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{2 + 2} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.10.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + r^{2} s^{2} (- \frac{s^{2}}{r^{2}})}$

Schritt 3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r^{2}$ .

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Schritt 3.11.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{s^{2}}{r^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + r^{2} s^{2} \frac{- s^{2}}{r^{2}}}$

Schritt 3.11.2

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} s^{2}$ heraus.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + r^{2} (s^{2}) \frac{- s^{2}}{r^{2}}}$

Schritt 3.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + r^{2} s^{2} \frac{- s^{2}}{r^{2}}}$

Schritt 3.11.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + s^{2} (- s^{2})}$

Schritt 3.12

Multipliziere $s^{2}$ mit $s^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.1

Bewege $s^{2}$ .

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + s^{2} s^{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + s^{2 + 2} \cdot - 1}$

Schritt 3.12.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{r^{3} s + r s^{3}}{r^{4} + s^{4} \cdot - 1}$

Schritt 4

Faktorisiere $r s$ aus $r^{3} s + r s^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $r s$ aus $r^{3} s$ heraus.

$\frac{r s (r^{2}) + r s^{3}}{r^{4} + s^{4} \cdot - 1}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $r s$ aus $r s^{3}$ heraus.

$\frac{r s (r^{2}) + r s (s^{2})}{r^{4} + s^{4} \cdot - 1}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $r s$ aus $r s (r^{2}) + r s (s^{2})$ heraus.

$\frac{r s (r^{2} + s^{2})}{r^{4} + s^{4} \cdot - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $r^{4}$ als ${(r^{2})}^{2}$ um.

$\frac{r s (r^{2} + s^{2})}{{(r^{2})}^{2} + s^{4} \cdot - 1}$

Schritt 5.2

Schreibe $s^{4}$ als ${(s^{2})}^{2}$ um.

$\frac{r s (r^{2} + s^{2})}{{(r^{2})}^{2} - {(s^{2})}^{2}}$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r^{2}$ und $b = s^{2}$ .

$\frac{r s (r^{2} + s^{2})}{(r^{2} + s^{2}) (r^{2} - s^{2})}$

Schritt 5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r$ und $b = s$ .

$\frac{r s (r^{2} + s^{2})}{(r^{2} + s^{2}) (r + s) (r - s)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r^{2} + s^{2}$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r s (r^{2} + s^{2})}{(r^{2} + s^{2}) (r + s) (r - s)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r s}{(r + s) (r - s)}$