Elementarmathematik Beispiele

$\frac{\cos^{2} (x) + \tan^{2} (x) - 1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos^{2} (x) + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ an.

$\frac{\cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.3

Bewege $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.4

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.8

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x)) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.9

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.10

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $- \sin^{2} (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ heraus.

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Schritt 1.10.1

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.10.2

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.10.3

Faktorisiere $\sin^{2} (x)$ aus $\sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ heraus.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.11

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.12

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1 + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.13

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.14

Stelle $- 1^{2}$ und ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

$\frac{\sin^{2} (x) ({(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1^{2})}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1.15

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{\cos (x)}$ und $b = 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2.2

Dividiere $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ durch $1$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

Schritt 3

Multipliziere $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.1.1.3

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $\frac{1}{\cos (x)}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1$

Schritt 4.2

Addiere $- \frac{1}{\cos (x)}$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 0 - 1$

Schritt 4.3

Addiere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ und $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - 1$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - 1$

Schritt 5.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\sec^{2} (x) - 1$

Schritt 6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\tan^{2} (x)$