Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x}{x^{2} - 10 x + 25} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x}{x^{2} - 10 x + 5^{2}} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

Schritt 1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 x - 10}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 10$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 (x) - 10}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 x + 2 \cdot - 5}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 5$ heraus.

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)}$

Schritt 2

Um $\frac{x}{{(x - 5)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)}$

Schritt 3

Um $- \frac{x - 4}{2 (x - 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 {(x - 5)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{{(x - 5)}^{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{x - 4}{2 (x - 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x - 4}{2 (x - 5)}$ mit $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 (x - 5) (x - 5)}$

Schritt 4.3

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 ({(x - 5)}^{1} (x - 5))}$

Schritt 4.4

Potenziere $x - 5$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1})}$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x \cdot 2}{{(x - 5)}^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.7

Stelle die Faktoren von ${(x - 5)}^{2} \cdot 2$ um.

$\frac{x \cdot 2}{2 {(x - 5)}^{2}} - \frac{(x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot 2 - (x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 \cdot x - (x - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + (- x - - 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{2 x + (- x + 4) (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6.4

Multipliziere $(- x + 4) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - x (x - 5) + 4 (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - x \cdot x - x \cdot - 5 + 4 (x - 5)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - x \cdot x - x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x - (x \cdot x) - x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x - x^{2} - x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - x^{2} + 5 x + 4 x + 4 \cdot - 5}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6.5.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x - x^{2} + 5 x + 4 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6.5.2

Addiere $5 x$ und $4 x$ .

$\frac{2 x - x^{2} + 9 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 6.6

Addiere $2 x$ und $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 11 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 11 x - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $11 x$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) - (- 11 x) - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 11 x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 7.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$\frac{- (x^{2} - 11 x) - 1 (20)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 11 x) - 1 (20)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 11 x + 20)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 7.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.6.1

Schreibe $- (x^{2} - 11 x + 20)$ als $- 1 (x^{2} - 11 x + 20)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 11 x + 20)}{2 {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 7.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - 11 x + 20}{2 {(x - 5)}^{2}}$