Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{25 - x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt{5^{2} - x^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

Schritt 1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{5^{2} - x^{2}}}$

Schritt 1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

Schritt 1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

Schritt 1.5.2

Potenziere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ mit $1$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}$

Schritt 1.5.3

Potenziere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ mit $1$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1} {\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1}}$

Schritt 1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}}$

Schritt 1.5.6

Schreibe ${\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}$ als $(5 + x) (5 - x)$ um.

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Schritt 1.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ als ${((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{({((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{{((5 + x) (5 - x))}^{1}}$

Schritt 1.5.6.5

Vereinfache.

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 2

Um $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ und $\frac{(5 + x) (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x))}{(5 + x) (5 - x)} + \frac{x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ aus $\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ aus $x^{2} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ heraus.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + \sqrt{(5 + x) (5 - x)} x^{2}}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ aus $\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x)) + \sqrt{(5 + x) (5 - x)} x^{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} ((5 + x) (5 - x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.2

Multipliziere $(5 + x) (5 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 (5 - x) + x (5 - x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.3.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - x \cdot x + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - 5 x + 5 x - x^{2} + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 0 - x^{2} + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.3.3

Addiere $25$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 - x^{2} + x^{2})}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.4

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} (25 + 0)}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 4.5

Addiere $25$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)} \cdot 25}{(5 + x) (5 - x)}$

Schritt 5

Bringe $25$ auf die linke Seite von $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\frac{25 \sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{(5 + x) (5 - x)}$