Elementarmathematik Beispiele

$2 \cos (\frac{π}{8}) - 1$

Schritt 1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$2 \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) - 1$

Schritt 1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$2 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) - 1$

Schritt 1.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$2 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} - 1$

Schritt 1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

Schritt 1.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 1.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

Schritt 1.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} - 1$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} - 1$

Schritt 1.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} - 1$

Schritt 1.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} - 1$

Schritt 1.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} - 1$

Schritt 1.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} - 1$

Schritt 1.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - 1$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - 1$

Schritt 2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{2 + \sqrt{2}} - 1$

Dezimalform:

$0.84775906 \dots$