Elementarmathematik Beispiele

$5^{x} + 125 (5^{- x}) - 30 = 0$

Schritt 1

Schreibe $5^{- x}$ als Potenz um.

$5^{x} + 125 \cdot {(5^{x})}^{- 1} - 30 = 0$

Schritt 2

Ersetze $5^{x}$ durch $u$ .

$u + 125 \cdot u^{- 1} - 30 = 0$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 125 \cdot \frac{1}{u} - 30 = 0$

Schritt 3.2

Kombiniere $125$ und $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{125}{u} - 30 = 0$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1, 1$

Schritt 4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{125}{u} - 30 = 0$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{125}{u} - 30 = 0$ mit $u$ .

$u \cdot u + \frac{125}{u} u - 30 u = 0 u$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + \frac{125}{u} u - 30 u = 0 u$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{125}{u} u - 30 u = 0 u$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + 125 - 30 u = 0 u$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $u$ .

$u^{2} + 125 - 30 u = 0$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $u^{2} + 125 - 30 u$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $125$ und deren Summe $- 30$ ist.

$- 25, - 5$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 25) (u - 5) = 0$

Schritt 4.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 25 = 0$

$u - 5 = 0$

Schritt 4.3.3

Setze $u - 25$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Setze $u - 25$ gleich $0$ .

$u - 25 = 0$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 25$

Schritt 4.3.4

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 4.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 25) (u - 5) = 0$ wahr machen.

$u = 25, 5$

Schritt 5

Setze $25$ für $u$ in $u = 5^{x}$ ein.

$25 = 5^{x}$

Schritt 6

Löse $25 = 5^{x}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $5^{x} = 25$ um.

$5^{x} = 25$

Schritt 6.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{x} = 5^{2}$

Schritt 6.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 2$

Schritt 7

Setze $5$ für $u$ in $u = 5^{x}$ ein.

$5 = 5^{x}$

Schritt 8

Löse $5 = 5^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $5^{x} = 5$ um.

$5^{x} = 5$

Schritt 8.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{x} = 5^{1}$

Schritt 8.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 1$

Schritt 9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = 2, 1$