Elementarmathematik Beispiele

$4^{x + 1} = e^{x - 1}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (4^{x + 1}) = \ln (e^{x - 1})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (4^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (4) = \ln (e^{x - 1})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (e^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(x + 1) \ln (4) = (x - 1) \ln (e)$

Schritt 4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(x + 1) \ln (4) = (x - 1) \cdot 1$

Schritt 5

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$(x + 1) \ln (4) = x - 1$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $(x + 1) \ln (4)$ .

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Schritt 6.1.1

Forme um.

$0 + 0 + (x + 1) \ln (4) = x - 1$

Schritt 6.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$(x + 1) \ln (4) = x - 1$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (4) + 1 \ln (4) = x - 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $\ln (4)$ mit $1$ .

$x \ln (4) + \ln (4) = x - 1$

Schritt 6.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (4) + \ln (4) - x = - 1$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (4) + \ln (4) = x - 1$

Schritt 6.4

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (4) + \ln (4) - x = - 1$

Schritt 6.5

Subtrahiere $\ln (4)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (4) - x = - 1 - \ln (4)$

Schritt 6.6

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (4) - x$ heraus.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (4)$ heraus.

$x (\ln (4)) - x = - 1 - \ln (4)$

Schritt 6.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x (\ln (4)) + x \cdot - 1 = - 1 - \ln (4)$

Schritt 6.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (4)) + x \cdot - 1$ heraus.

$x (\ln (4) - 1) = - 1 - \ln (4)$

Schritt 6.7

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (4) - 1) = - 1 - \ln (4)$ durch $\ln (4) - 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (4) - 1) = - 1 - \ln (4)$ durch $\ln (4) - 1$ .

$\frac{x (\ln (4) - 1)}{\ln (4) - 1} = \frac{- 1}{\ln (4) - 1} + \frac{- \ln (4)}{\ln (4) - 1}$

Schritt 6.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4) - 1$ .

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Schritt 6.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (4) - 1)}{\ln (4) - 1} = \frac{- 1}{\ln (4) - 1} + \frac{- \ln (4)}{\ln (4) - 1}$

Schritt 6.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{\ln (4) - 1} + \frac{- \ln (4)}{\ln (4) - 1}$

Schritt 6.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 1 - \ln (4)}{\ln (4) - 1}$

Schritt 6.7.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 (1) - \ln (4)}{\ln (4) - 1}$

Schritt 6.7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (4)$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1) - \ln (4)}{\ln (4) - 1}$

Schritt 6.7.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - \ln (4)$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + \ln (4))}{\ln (4) - 1}$

Schritt 6.7.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + \ln (4)}{\ln (4) - 1}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1 + \ln (4)}{\ln (4) - 1}$

Dezimalform:

$x = - 6.17739889 \dots$