Elementarmathematik Beispiele

$4^{x - x^{2}} = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$4^{x - x^{2}} = \frac{1}{2^{1}}$

Schritt 2

Bringe $2^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4^{x - x^{2}} = 2^{- 1}$

Schritt 3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{2 (x - x^{2})} = 2^{- 1}$

Schritt 4

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 (x - x^{2}) = - 1$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x - x^{2}) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x - x^{2}) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 (x - x^{2})}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x - x^{2})}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.1.2.1.2

Dividiere $x - x^{2}$ durch $1$ .

$x - x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x - x^{2} = - \frac{1}{2}$

Schritt 5.2

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x - x^{2} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 5.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 (- x^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x - 2 x^{2} + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x - 2 x^{2} + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x - 2 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 5.3.3

Stelle $2 x$ und $- 2 x^{2}$ um.

$- 2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Schritt 5.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5

Setze die Werte $a = - 2$ , $b = 2$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

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Schritt 5.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.6.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.6.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.6.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{- 4}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{- 4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Dezimalform:

$x = 1.36602540 \dots, - 0.36602540 \dots$