Elementarmathematik Beispiele

$49^{x} - 6 \cdot 7^{x} = - 9$

Schritt 1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$49^{x} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $49^{x}$ als ${(7^{2})}^{x}$ um.

${(7^{2})}^{x} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

Schritt 2.2

Schreibe ${(7^{2})}^{x}$ als ${(7^{x})}^{2}$ um.

${(7^{x})}^{2} - 6 \cdot 7^{x} + 9 = 0$

Schritt 2.3

Es sei $u = 7^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $7^{x}$ .

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Schritt 2.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Schritt 2.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.5

Ersetze alle $u$ durch $7^{x}$ .

${(7^{x} - 3)}^{2} = 0$

Schritt 3

Setze $7^{x} - 3$ gleich $0$ .

$7^{x} - 3 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7^{x} = 3$

Schritt 4.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (7^{x}) = \ln (3)$

Schritt 4.3

Zerlege $\ln (7^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (7) = \ln (3)$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (7) = \ln (3)$ durch $\ln (7)$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (7) = \ln (3)$ durch $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (7)$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (7)}$

Dezimalform:

$x = 0.56457503 \dots$