Elementarmathematik Beispiele

$5^{x^{3} - x} = 1$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x^{3} - x}) = \ln (1)$

Schritt 2

Zerlege $\ln (5^{x^{3} - x})$ durch Herausziehen von $x^{3} - x$ aus dem Logarithmus.

$(x^{3} - x) \ln (5) = \ln (1)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} \ln (5) - x \ln (5) = \ln (1)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x^{3} \ln (5) - x \ln (5) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $x \ln (5)$ aus $x^{3} \ln (5) - x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x \ln (5)$ aus $x^{3} \ln (5)$ heraus.

$x \ln (5) x^{2} - x \ln (5) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x \ln (5)$ aus $- x \ln (5)$ heraus.

$x \ln (5) x^{2} + x \ln (5) \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x \ln (5)$ aus $x \ln (5) x^{2} + x \ln (5) \cdot - 1$ heraus.

$x \ln (5) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x \ln (5) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x \ln (5) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x \ln (5) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 9

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 10

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 11

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 11.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x \ln (5) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 1$