Elementarmathematik Beispiele

$4^{2 x} - 5 \cdot 4^{x + \frac{1}{2}} + 16 = 0$

Schritt 1

Schreibe $4^{x + \frac{1}{2}}$ als $4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}$ um.

$4^{2 x} - 5 \cdot (4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}) + 16 = 0$

Schritt 2

Schreibe $4^{2 x}$ als Potenz um.

${(4^{x})}^{2} - 5 \cdot (4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}}) + 16 = 0$

Schritt 3

Entferne die Klammern.

${(4^{x})}^{2} - 5 \cdot 4^{x} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Schritt 4

Ersetze $4^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} - 5 \cdot u \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u^{2} - 5 u \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + 16 = 0$

Schritt 5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{2} - 5 u \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + 16 = 0$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} - 5 u \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + 16 = 0$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} - 5 u \cdot 2 + 16 = 0$

Schritt 5.4

Berechne den Exponenten.

$u^{2} - 5 u \cdot 2 + 16 = 0$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$u^{2} - 10 u + 16 = 0$

Schritt 6

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $u^{2} - 10 u + 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $16$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 8, - 2$

Schritt 6.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 8) (u - 2) = 0$

Schritt 6.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 2 = 0$

Schritt 6.3

Setze $u - 8$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $u - 8$ gleich $0$ .

$u - 8 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 8$

Schritt 6.4

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 6.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 6.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 8) (u - 2) = 0$ wahr machen.

$u = 8, 2$

Schritt 7

Setze $8$ für $u$ in $u = 4^{x}$ ein.

$8 = 4^{x}$

Schritt 8

Löse $8 = 4^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $4^{x} = 8$ um.

$4^{x} = 8$

Schritt 8.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{2 x} = 2^{3}$

Schritt 8.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 x = 3$

Schritt 8.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 8.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 9

Setze $2$ für $u$ in $u = 4^{x}$ ein.

$2 = 4^{x}$

Schritt 10

Löse $2 = 4^{x}$ .

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $4^{x} = 2$ um.

$4^{x} = 2$

Schritt 10.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{2 x} = 2^{1}$

Schritt 10.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 x = 1$

Schritt 10.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 10.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 10.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 11

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$x = 1.5, 0.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 1 \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$