Elementarmathematik Beispiele

$3^{2 x} + 35 = 12 (3^{x})$

Schritt 1

Subtrahiere $12 \cdot 3^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3^{2 x} + 35 - 12 \cdot 3^{x} = 0$

Schritt 2

Schreibe $3^{2 x}$ als Potenz um.

${(3^{x})}^{2} + 35 - 12 \cdot 3^{x} = 0$

Schritt 3

Ersetze $3^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} + 35 - 12 u = 0$

Schritt 4

Bewege $35$ .

$u^{2} - 12 u + 35 = 0$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Faktorisiere $u^{2} - 12 u + 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $35$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 7, - 5$

Schritt 5.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 7) (u - 5) = 0$

Schritt 5.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 7 = 0$

$u - 5 = 0$

Schritt 5.3

Setze $u - 7$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze $u - 7$ gleich $0$ .

$u - 7 = 0$

Schritt 5.3.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 7$

Schritt 5.4

Setze $u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Setze $u - 5$ gleich $0$ .

$u - 5 = 0$

Schritt 5.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 5$

Schritt 5.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 7) (u - 5) = 0$ wahr machen.

$u = 7, 5$

Schritt 6

Setze $7$ für $u$ in $u = 3^{x}$ ein.

$7 = 3^{x}$

Schritt 7

Löse $7 = 3^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = 7$ um.

$3^{x} = 7$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (7)$

Schritt 7.3

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (7)$

Schritt 7.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (7)$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (7)$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Schritt 7.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}$

Schritt 8

Setze $5$ für $u$ in $u = 3^{x}$ ein.

$5 = 3^{x}$

Schritt 9

Löse $5 = 3^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = 5$ um.

$3^{x} = 5$

Schritt 9.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (5)$

Schritt 9.3

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (5)$

Schritt 9.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (5)$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (5)$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Schritt 9.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Schritt 9.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Schritt 10

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}, \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (7)}{\ln (3)}, \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Dezimalform:

$x = 1.77124374 \dots, 1.46497352 \dots$