Elementarmathematik Beispiele

$7^{x^{2}} = 8^{9 - x}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (7^{x^{2}}) = \ln (8^{9 - x})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (7^{x^{2}})$ durch Herausziehen von $x^{2}$ aus dem Logarithmus.

$x^{2} \ln (7) = \ln (8^{9 - x})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (8^{9 - x})$ durch Herausziehen von $9 - x$ aus dem Logarithmus.

$x^{2} \ln (7) = (9 - x) \ln (8)$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \ln (7) = 9 \ln (8) - x \ln (8)$

Schritt 4.2

Addiere $x \ln (8)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \ln (7) + x \ln (8) = 9 \ln (8)$

Schritt 4.3

Subtrahiere $9 \ln (8)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \ln (7) + x \ln (8) - 9 \ln (8) = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = \ln (7)$ , $b = \ln (8)$ und $c = - 9 \ln (8)$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln^{2} (8) - 4 \cdot (\ln (7) \cdot (- 9 \ln (8)))}}{2 \ln (7)}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $\ln (8)$ aus $\ln^{2} (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9 \ln (8)$ heraus.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $\ln (8)$ aus $\ln^{2} (8)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) \ln (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot (- 9 \ln (8))}}{2 \ln (7)}$

Schritt 4.6.1.2

Faktorisiere $\ln (8)$ aus $- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9 \ln (8)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) \ln (8) + \ln (8) (- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)}}{2 \ln (7)}$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere $\ln (8)$ aus $\ln (8) \ln (8) + \ln (8) (- 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)$ heraus.

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) (\ln (8) - 4 \cdot \ln (7) \cdot - 9)}}{2 \ln (7)}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 4$ .

$x = \frac{- \ln (8) \pm \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{\ln (8) - \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}, - \frac{\ln (8) + \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (8) - \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}, - \frac{\ln (8) + \sqrt{\ln (8) (\ln (8) + 36 \ln (7))}}{2 \ln (7)}$

Dezimalform:

$x = 2.61260549 \dots, - 3.68122705 \dots$