Elementarmathematik Beispiele

$e^{2 x} - 6 e^{x} + 9 = 0$

Schritt 1

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

${(e^{x})}^{2} - 6 e^{x} + 9 = 0$

Schritt 2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Schritt 3.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Schritt 3.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 3.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 4

Setze $3$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$3 = e^{x}$

Schritt 5

Löse $3 = e^{x}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 3$ um.

$e^{x} = 3$

Schritt 5.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Schritt 5.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Schritt 5.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (3)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (3)$

Dezimalform:

$x = 1.09861228 \dots$