Elementarmathematik Beispiele

$e^{2 x} + 7 e^{x} - 3 = 0$

Schritt 1

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

${(e^{x})}^{2} + 7 e^{x} - 3 = 0$

Schritt 2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u^{2} + 7 u - 3 = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 7$ und $c = - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $49$ und $12$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 7 \pm \sqrt{61}}{2}$

Schritt 3.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Schritt 4

Setze $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

Schritt 5

Löse $- \frac{7 - \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$ um.

$e^{x} = - \frac{7 - \sqrt{61}}{2}$

Schritt 5.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Schritt 5.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 5.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Schritt 5.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Schritt 6

Setze $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$

Schritt 7

Löse $- \frac{7 + \sqrt{61}}{2} = e^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$ um.

$e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$

Schritt 7.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- \frac{7 + \sqrt{61}}{2})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 7.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - \frac{7 + \sqrt{61}}{2}$

Keine Lösung

Schritt 8

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (- \frac{7 - \sqrt{61}}{2})$

Dezimalform:

$x = - 0.90356001 \dots$