Elementarmathematik Beispiele

$\cot^{2} (x) = \sqrt{3} \cot (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{3} \cot (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cot^{2} (x) - \sqrt{3} \cot (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $\cot^{2} (x) - \sqrt{3} \cot (x)$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $\cot^{2} (x)$ heraus.

$\cot (x) \cot (x) - \sqrt{3} \cot (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $- \sqrt{3} \cot (x)$ heraus.

$\cot (x) \cot (x) + \cot (x) (- \sqrt{3}) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $\cot (x)$ aus $\cot (x) \cot (x) + \cot (x) (- \sqrt{3})$ heraus.

$\cot (x) (\cot (x) - \sqrt{3}) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\cot (x) - \sqrt{3} = 0$

Schritt 4

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cot (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (0)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache $π + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.2.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 4.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 4.2.4.3.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.2.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.2.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $\cot (x) - \sqrt{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $\cot (x) - \sqrt{3}$ gleich $0$ .

$\cot (x) - \sqrt{3} = 0$

Schritt 5.2

Löse $\cot (x) - \sqrt{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $\sqrt{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Schritt 5.2.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Der genau Wert von $arccot (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.4

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache $π + \frac{π}{6}$ .

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Schritt 5.2.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 5.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Schritt 5.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Schritt 5.2.5.3.2

Addiere $6 π$ und $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Schritt 5.2.6

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 5.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.2.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.2.7

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\cot (x) (\cot (x) - \sqrt{3}) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 7.1

Führe $\frac{π}{2} + π n$ und $\frac{3 π}{2} + π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7.2

Führe $\frac{π}{6} + π n$ und $\frac{7 π}{6} + π n$ zu $\frac{π}{6} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$