Elementarmathematik Beispiele

$\csc^{2} (x) - 2 \cot (x) = 0$

Schritt 1

Ersetze die $\csc^{2} (x)$ durch $\cot^{2} (x) + 1$ basierend auf der $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(\cot^{2} (x) + 1) - 2 \cot (x) = 0$

Schritt 2

Stelle das Polynom um.

$\cot^{2} (x) - 2 \cot (x) + 1 = 0$

Schritt 3

Ersetze $\cot (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 5

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 6

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 7

Ersetze $u$ durch $\cot (x)$ .

$\cot (x) = 1$

Schritt 8

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (1)$

Schritt 9

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.1

Der genau Wert von $arccot (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 10

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 11

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 11.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 11.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 11.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 11.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 12.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$