Elementarmathematik Beispiele

$\cos^{2} (x) + 2 \sin (x) - 2 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\cos^{2} (x)$ durch $1 - \sin^{2} (x)$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) + 2 \sin (x) - 2 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Stelle die Terme um.

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sin (x)$ heraus.

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $2$ um als $1$ plus $1$

$- \sin^{2} (x) + (1 + 1) \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + 1 \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) - 1 (- \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- \sin (x) + 1$ .

$(- \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Schritt 2.4

Setze $- \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $- \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $- \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Schritt 2.4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 2.4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.4.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.4.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.6.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 2.4.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.4.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.4.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- \sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$