Elementarmathematik Beispiele

$e^{4 x} - 6 e^{2 x} = 16$

Schritt 1

Schreibe $e^{4 x}$ als Potenz um.

${(e^{x})}^{4} - 6 e^{2 x} = 16$

Schritt 2

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

${(e^{x})}^{4} - 6 {(e^{x})}^{2} = 16$

Schritt 3

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u^{4} - 6 u^{2} = 16$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{4} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $u^{4}$ als ${(u^{2})}^{2}$ um.

${(u^{2})}^{2} - 6 u^{2} - 16 = 0$

Schritt 4.2.2

Es sei $u = u^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $u^{2}$ .

$u^{2} - 6 u - 16 = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $u^{2} - 6 u - 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 16$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 8, 2$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 8) (u + 2) = 0$

Schritt 4.2.4

Ersetze alle $u$ durch $u^{2}$ .

$(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

$u^{2} + 2 = 0$

Schritt 4.4

Setze $u^{2} - 8$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $u^{2} - 8$ gleich $0$ .

$u^{2} - 8 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse $u^{2} - 8 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} = 8$

Schritt 4.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{8}$

Schritt 4.4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{8}$ .

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Schritt 4.4.2.3.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.4.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$u = \pm \sqrt{4 (2)}$

Schritt 4.4.2.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \pm 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.5

Setze $u^{2} + 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $u^{2} + 2$ gleich $0$ .

$u^{2} + 2 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $u^{2} + 2 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} = - 2$

Schritt 4.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 4.5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Schritt 4.5.2.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$u = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 4.5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$u = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 4.5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 4.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = i \sqrt{2}$

Schritt 4.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - i \sqrt{2}$

Schritt 4.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u^{2} - 8) (u^{2} + 2) = 0$ wahr machen.

$u = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 5

Setze $2 \sqrt{2}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$2 \sqrt{2} = e^{x}$

Schritt 6

Löse $2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 2 \sqrt{2}$ um.

$e^{x} = 2 \sqrt{2}$

Schritt 6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 \sqrt{2})$

Schritt 6.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (2 \sqrt{2})$

Schritt 6.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2 \sqrt{2})$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (2 \sqrt{2})$

Schritt 7

Setze $- 2 \sqrt{2}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$- 2 \sqrt{2} = e^{x}$

Schritt 8

Löse $- 2 \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$ um.

$e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Schritt 8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 2 \sqrt{2})$

Schritt 8.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 2 \sqrt{2})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 8.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - 2 \sqrt{2}$

Keine Lösung

Schritt 9

Setze $i \sqrt{2}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$i \sqrt{2} = e^{x}$

Schritt 10

Löse $i \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = i \sqrt{2}$ um.

$e^{x} = i \sqrt{2}$

Schritt 10.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (i \sqrt{2})$

Schritt 10.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 10.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (i \sqrt{2})$

Schritt 10.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (i \sqrt{2})$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (i \sqrt{2})$

Schritt 10.4

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 10.4.1

Schreibe $\ln (i \sqrt{2})$ als $\ln (i) + \ln (\sqrt{2})$ um.

$x = \ln (i) + \ln (\sqrt{2})$

Schritt 10.4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.4.3

Zerlege $\ln (2^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Schritt 10.4.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (2)$ .

$x = \ln (i) + \frac{\ln (2)}{2}$

Schritt 10.5

Vereinfache.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.5.1.1

Schreibe $\frac{\ln (2)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (2)$ um.

$x = \ln (i) + \frac{1}{2} \ln (2)$

Schritt 10.5.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (2)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$x = \ln (i) + \ln (2^{\frac{1}{2}})$

Schritt 10.5.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Schritt 11

Setze $- i \sqrt{2}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$- i \sqrt{2} = e^{x}$

Schritt 12

Löse $- i \sqrt{2} = e^{x}$ .

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Schritt 12.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = - i \sqrt{2}$ um.

$e^{x} = - i \sqrt{2}$

Schritt 12.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- i \sqrt{2})$

Schritt 12.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- i \sqrt{2})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 12.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - i \sqrt{2}$

Keine Lösung

Schritt 13

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (2 \sqrt{2}), \ln (i \cdot 2^{\frac{1}{2}})$