Elementarmathematik Beispiele

$e^{x} - e^{- x} - 1 = 0$

Schritt 1

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$e^{x} - {(e^{x})}^{- 1} - 1 = 0$

Schritt 2

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$u - u^{- 1} - 1 = 0$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} - 1 = 0$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1, 1$

Schritt 4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $u - \frac{1}{u} - 1 = 0$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u - \frac{1}{u} - 1 = 0$ mit $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u - u = 0 u$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u - u = 0 u$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{u}$ in den Zähler.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - u = 0 u$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - u = 0 u$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} - 1 - u = 0 u$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $u$ .

$u^{2} - 1 - u = 0$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.3.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5

Setze $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = e^{x}$

Schritt 6

Löse $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = e^{x}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ um.

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Schritt 6.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Schritt 6.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Schritt 7

Setze $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = e^{x}$

Schritt 8

Löse $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = e^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ um.

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Schritt 8.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 8.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Keine Lösung

Schritt 9

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$

Dezimalform:

$x = 0.48121182 \dots$