Elementarmathematik Beispiele

$e^{x} (8 - e^{x}) = 16$

Schritt 1

Vereinfache $e^{x} (8 - e^{x})$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} \cdot 8 + e^{x} (- e^{x}) = 16$

Schritt 1.1.2

Stelle um.

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Schritt 1.1.2.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$8 \cdot e^{x} + e^{x} (- e^{x}) = 16$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \cdot e^{x} - e^{x} e^{x} = 16$

Schritt 1.2

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$8 e^{x} - (e^{x} e^{x}) = 16$

Schritt 1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 e^{x} - e^{x + x} = 16$

Schritt 1.2.3

Addiere $x$ und $x$ .

$8 e^{x} - e^{2 x} = 16$

Schritt 2

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

$8 e^{x} - {(e^{x})}^{2} = 16$

Schritt 3

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$8 u - u^{2} = 16$

Schritt 4

Stelle $8 u$ und $- u^{2}$ um.

$- u^{2} + 8 u = 16$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{2} + 8 u - 16 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} + 8 u - 16$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- (u^{2}) + 8 u - 16 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $8 u$ heraus.

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 16 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$- (u^{2}) - (- 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

Schritt 5.2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2}) - (- 8 u)$ heraus.

$- (u^{2} - 8 u) - 1 \cdot 16 = 0$

Schritt 5.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} - 8 u) - 1 (16)$ heraus.

$- (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

Schritt 5.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 5.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 4$ .

$- {(u - 4)}^{2} = 0$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- {(u - 4)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(u - 4)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(u - 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(u - 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Dividiere ${(u - 4)}^{2}$ durch $1$ .

${(u - 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Schritt 5.4

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 5.5

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 6

Setze $4$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$4 = e^{x}$

Schritt 7

Löse $4 = e^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 4$ um.

$e^{x} = 4$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (4)$

Schritt 7.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 7.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (4)$

Schritt 7.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4)$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (4)$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (4)$

Dezimalform:

$x = 1.38629436 \dots$