Elementarmathematik Beispiele

$e^{- x} = 125^{2 x + 3}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (125^{2 x + 3})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln (e^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$- x \ln (e) = \ln (125^{2 x + 3})$

Schritt 2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- x \cdot 1 = \ln (125^{2 x + 3})$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- x = \ln (125^{2 x + 3})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (125^{2 x + 3})$ durch Herausziehen von $2 x + 3$ aus dem Logarithmus.

$- x = (2 x + 3) \ln (125)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x = 2 x \ln (125) + 3 \ln (125)$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- 2 x \ln (125) - 3 \ln (125) = x$

Schritt 6

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x \ln (125) - 3 \ln (125) - x = 0$

Schritt 7

Addiere $3 \ln (125)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x \ln (125) - x = 3 \ln (125)$

Schritt 8

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \ln (125) - x$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \ln (125)$ heraus.

$x (- 2 \ln (125)) - x = 3 \ln (125)$

Schritt 8.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$x (- 2 \ln (125)) + x \cdot - 1 = 3 \ln (125)$

Schritt 8.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 2 \ln (125)) + x \cdot - 1$ heraus.

$x (- 2 \ln (125) - 1) = 3 \ln (125)$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $x (- 2 \ln (125) - 1) = 3 \ln (125)$ durch $- 2 \ln (125) - 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- 2 \ln (125) - 1) = 3 \ln (125)$ durch $- 2 \ln (125) - 1$ .

$\frac{x (- 2 \ln (125) - 1)}{- 2 \ln (125) - 1} = \frac{3 \ln (125)}{- 2 \ln (125) - 1}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 \ln (125) - 1$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 2 \ln (125) - 1)}{- 2 \ln (125) - 1} = \frac{3 \ln (125)}{- 2 \ln (125) - 1}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3 \ln (125)}{- 2 \ln (125) - 1}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \ln (125)$ heraus.

$x = \frac{3 \ln (125)}{- (2 \ln (125)) - 1}$

Schritt 9.3.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{3 \ln (125)}{- (2 \ln (125)) - 1 (1)}$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \ln (125)) - 1 (1)$ heraus.

$x = \frac{3 \ln (125)}{- (2 \ln (125) + 1)}$

Schritt 9.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 9.3.4.1

Schreibe $- (2 \ln (125) + 1)$ als $- 1 (2 \ln (125) + 1)$ um.

$x = \frac{3 \ln (125)}{- 1 (2 \ln (125) + 1)}$

Schritt 9.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 \ln (125)}{2 \ln (125) + 1}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{3 \ln (125)}{2 \ln (125) + 1}$

Dezimalform:

$x = - 1.35924252 \dots$