Elementarmathematik Beispiele

$\sin^{2} (3 x) - \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin (3 x)$ und $b = \sin (x)$ .

$(\sin (3 x) + \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Schritt 1.2

Wende die Dreifachwinkelfunktion für den Sinus an.

$(- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Schritt 1.3

Addiere $3 \sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (\sin (3 x) - \sin (x)) = 0$

Schritt 1.4

Wende die Dreifachwinkelfunktion für den Sinus an.

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - \sin (x)) = 0$

Schritt 1.5

Subtrahiere $\sin (x)$ von $3 \sin (x)$ .

$(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.6

Multipliziere $(- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin (x)) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 \sin^{3} (x) (- 4 \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 4 \cdot (- 4 \sin^{3} (x) \sin^{3} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Multipliziere $\sin^{3} (x)$ mit $\sin^{3} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1.2.1

Bewege $\sin^{3} (x)$ .

$- 4 \cdot (- 4 (\sin^{3} (x) \sin^{3} (x))) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 \cdot (- 4 {\sin (x)}^{3 + 3}) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.2.3

Addiere $3$ und $3$ .

$- 4 \cdot (- 4 \sin^{6} (x)) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 \sin^{3} (x) (2 \sin (x)) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.4

Multipliziere $\sin^{3} (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1.4.1

Bewege $\sin (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x)) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{3} (x)$ .

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Schritt 1.7.1.4.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 (\sin (x) \sin^{3} (x)) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 \sin^{6} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 3} \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.4.3

Addiere $1$ und $3$ .

$16 \sin^{6} (x) - 4 \sin^{4} (x) \cdot 2 + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) (- 4 \sin^{3} (x)) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.6

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{3} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1.6.1

Bewege $\sin^{3} (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.6.2

Mutltipliziere $\sin^{3} (x)$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 1.7.1.6.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 {\sin (x)}^{3 + 1} \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) + 4 \sin^{4} (x) \cdot - 4 + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) (2 \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.8

Multipliziere $4 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

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Schritt 1.7.1.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 \sin (x) \sin (x) = 0$

Schritt 1.7.1.8.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.8.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 (\sin (x) \sin (x)) = 0$

Schritt 1.7.1.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 {\sin (x)}^{1 + 1} = 0$

Schritt 1.7.1.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$16 \sin^{6} (x) - 8 \sin^{4} (x) - 16 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 1.7.2

Subtrahiere $16 \sin^{4} (x)$ von $- 8 \sin^{4} (x)$ .

$16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $8 \sin^{2} (x)$ aus $16 \sin^{6} (x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $8 \sin^{2} (x)$ aus $16 \sin^{6} (x)$ heraus.

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $8 \sin^{2} (x)$ aus $- 24 \sin^{4} (x)$ heraus.

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $8 \sin^{2} (x)$ aus $8 \sin^{2} (x)$ heraus.

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $8 \sin^{2} (x)$ aus $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x)) + 8 \sin^{2} (x) (- 3 \sin^{2} (x))$ heraus.

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $8 \sin^{2} (x)$ aus $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x)) + 8 \sin^{2} (x) \cdot 1$ heraus.

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $\sin^{4} (x)$ als ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ um.

$8 \sin^{2} (x) (2 {(\sin^{2} (x))}^{2} - 3 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Schritt 2.3

Es sei $u = \sin^{2} (x)$ . Ersetze $u$ für alle $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 u$ heraus.

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 3 u + 1) = 0$

Schritt 2.4.1.2

Schreibe $- 3$ um als $- 1$ plus $- 2$

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1) = 0$

Schritt 2.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 \sin^{2} (x) (2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1) = 0$

Schritt 2.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$8 \sin^{2} (x) ((2 u^{2} - 1 u) - 2 u + 1) = 0$

Schritt 2.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$8 \sin^{2} (x) (u (2 u - 1) - (2 u - 1)) = 0$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u - 1$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 u - 1) (u - 1)) = 0$

Schritt 2.5

Ersetze alle $u$ durch $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1)) = 0$

Schritt 2.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere.

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Schritt 2.7.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sin (x)$ und $b = 1$ .

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1))) = 0$

Schritt 2.7.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$8 \sin^{2} (x) ((2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

Schritt 2.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $\sin^{2} (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\sin^{2} (x)$ gleich $0$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Schritt 4.2

Löse $\sin^{2} (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sin (x) = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 4.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 4.2.6

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 4.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Setze $2 \sin^{2} (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 \sin^{2} (x) - 1$ gleich $0$ .

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin^{2} (x) = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin^{2} (x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin^{2} (x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 5.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 5.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.7

Löse in $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.2.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.7.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.7.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.7.4

Vereinfache $π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 5.2.7.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.7.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.7.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.7.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.2.7.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.7.4.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 5.2.7.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 5.2.7.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.7.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.8

Löse in $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.8.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.8.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 5.2.8.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 5.2.8.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 5.2.8.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 5.2.8.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.2.8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.2.8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.2.8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.2.8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.2.8.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.2.8.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Schritt 5.2.8.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.8.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.8.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 5.2.8.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 5.2.8.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.8.6.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Schritt 5.2.8.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 5.2.8.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 5.2.8.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5.2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $\sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 6.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.2.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 6.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 6.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 6.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 6.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 6.2.7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 6.2.7.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 6.2.7.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.7.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 6.2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7

Setze $\sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $\sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = 1$

Schritt 7.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (1)$

Schritt 7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 7.2.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 7.2.5.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 7.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.2.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $8 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 9.1

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.2

Führe $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ und $\frac{π}{2} + 2 π n$ zu $\frac{π}{2} + π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.3

Führe $π n$ und $\frac{π}{2} + π n$ zu $\frac{π n}{2}$ zusammen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{4}$ , für jede ganze Zahl $n$