Elementarmathematik Beispiele

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + u = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + u - \frac{1}{2} = 0$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (- \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 u^{2} + 2 u + 2 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Schritt 10

Löse in $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 0.37473443$

Schritt 10.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$

Schritt 10.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 10.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 10.4.2

Der resultierende Winkel von $2.76685822$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) - 0.37473443 + 3.14159265$ .

$x = 2.76685822$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Löse in $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 12

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.37473443 + 2 π n, 2.76685822 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$