Elementarmathematik Beispiele

$- \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) - 2$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 \cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = - 2$

Schritt 1.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) + 2 = 0$

Schritt 2

Ersetze $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) + 2 = 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$- (1 - {(u)}^{2}) - 2 u + 2 = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache $- (1 - u^{2}) - 2 u + 2$ .

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 1 - - u^{2} - 2 u + 2 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - - u^{2} - 2 u + 2 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $- - u^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 1 + 1 u^{2} - 2 u + 2 = 0$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$- 1 + u^{2} - 2 u + 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Schritt 3.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.4

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 3.5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 3.6

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 1$

Schritt 3.7

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 3.8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.8.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.9

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 3.10

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 3.11

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.11.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.11.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.11.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.12

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$