Elementarmathematik Beispiele

$\sin^{2} (x) - 8 \sin (x) - 4 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} - 8 u - 4 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Addiere $64$ und $16$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = 4 \pm 2 \sqrt{5}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Schritt 6

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}, 4 - 2 \sqrt{5}$

Schritt 7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$

Schritt 8

Löse in $\sin (x) = 4 + 2 \sqrt{5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\sin (x) = 8.47213595$

Schritt 8.2

Der Wertebereich des Sinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $8.47213595$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 9

Löse in $\sin (x) = 4 - 2 \sqrt{5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\sin (x) = - 0.47213595$

Schritt 9.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 0.47213595)$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Berechne $\arcsin (- 0.47213595)$ .

$x = - 0.49171223$

Schritt 9.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$

Schritt 9.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 9.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 9.5.2

Der resultierende Winkel von $3.63330488$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.49171223 + 3.14159265$ .

$x = 3.63330488$

Schritt 9.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 9.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9.7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 9.7.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.49171223$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.49171223 + 2 π$

Schritt 9.7.2

Subtrahiere $0.49171223$ von $2 π$ .

$5.79147307$

Schritt 9.7.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.79147307$

Schritt 9.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Liste alle Lösungen auf.

$x = 3.63330488 + 2 π n, 5.79147307 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$