Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1} = 10 x - 22$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1}}^{2} = {(10 x - 22)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1}$ als ${(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(10 x - 22)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(10 x - 22)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(10 x - 22)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{4} - 2 x^{2} + 1)}^{1} = {(10 x - 22)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = {(10 x - 22)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(10 x - 22)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(10 x - 22)}^{2}$ als $(10 x - 22) (10 x - 22)$ um.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = (10 x - 22) (10 x - 22)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(10 x - 22) (10 x - 22)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 x (10 x - 22) - 22 (10 x - 22)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 x (10 x) + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x - 22)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 x (10 x) + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 \cdot 10 x \cdot x + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 \cdot 10 (x \cdot x) + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 10 \cdot 10 x^{2} + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} + 10 x \cdot - 22 - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 22$ mit $10$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} - 220 x - 22 (10 x) - 22 \cdot - 22$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $10$ mit $- 22$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} - 220 x - 220 x - 22 \cdot - 22$

Schritt 2.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 22$ mit $- 22$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} - 220 x - 220 x + 484$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $220 x$ von $- 220 x$ .

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 = 100 x^{2} - 440 x + 484$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $100 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 - 100 x^{2} = - 440 x + 484$

Schritt 3.1.2

Addiere $440 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 2 x^{2} + 1 - 100 x^{2} + 440 x = 484$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $100 x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$x^{4} - 102 x^{2} + 1 + 440 x = 484$

Schritt 3.2

Subtrahiere $484$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 102 x^{2} + 1 + 440 x - 484 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $484$ von $1$ .

$x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 483, \pm 3, \pm 161, \pm 7, \pm 69, \pm 21, \pm 23$

$q = \pm 1$

Schritt 3.4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 483, \pm 3, \pm 161, \pm 7, \pm 69, \pm 21, \pm 23$

Schritt 3.4.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.4.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{4} - 102 \cdot 3^{2} + 440 \cdot 3 - 483$

Schritt 3.4.1.3.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 - 102 \cdot 3^{2} + 440 \cdot 3 - 483$

Schritt 3.4.1.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$81 - 102 \cdot 9 + 440 \cdot 3 - 483$

Schritt 3.4.1.3.4

Mutltipliziere $- 102$ mit $9$ .

$81 - 918 + 440 \cdot 3 - 483$

Schritt 3.4.1.3.5

Subtrahiere $918$ von $81$ .

$- 837 + 440 \cdot 3 - 483$

Schritt 3.4.1.3.6

Mutltipliziere $440$ mit $3$ .

$- 837 + 1320 - 483$

Schritt 3.4.1.3.7

Addiere $- 837$ und $1320$ .

$483 - 483$

Schritt 3.4.1.3.8

Subtrahiere $483$ von $483$ .

$0$

Schritt 3.4.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483}{x - 3}$

Schritt 3.4.1.5

Dividiere $x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483$ durch $x - 3$ .

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Schritt 3.4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

Schritt 3.4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

Schritt 3.4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 3.4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - 3 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 3.4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 3.4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

Schritt 3.4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

Schritt 3.4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Schritt 3.4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} - 9 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

Schritt 3.4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

Schritt 3.4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

Schritt 3.4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 93 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

Schritt 3.4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

Schritt 3.4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 93 x^{2} + 279 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

Schritt 3.4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

Schritt 3.4.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

Schritt 3.4.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $161 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

Schritt 3.4.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

$161 x$

$483$

Schritt 3.4.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $161 x - 483$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

$161 x$

$483$

Schritt 3.4.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

$x$

$3$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$102 x^{2}$

$440 x$

$483$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$102 x^{2}$

$3 x^{3}$

$9 x^{2}$

$93 x^{2}$

$440 x$

$93 x^{2}$

$279 x$

$161 x$

$483$

$161 x$

$483$

$0$

Schritt 3.4.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$

Schritt 3.4.1.6

Schreibe $x^{4} - 102 x^{2} + 440 x - 483$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161) = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.4.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 161, \pm 7, \pm 23$

$q = \pm 1$

Schritt 3.4.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 161, \pm 7, \pm 23$

Schritt 3.4.2.1.3

Setze $7$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $7$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Setze $7$ in das Polynom ein.

$7^{3} + 3 \cdot 7^{2} - 93 \cdot 7 + 161$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Potenziere $7$ mit $3$ .

$343 + 3 \cdot 7^{2} - 93 \cdot 7 + 161$

Schritt 3.4.2.1.3.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$343 + 3 \cdot 49 - 93 \cdot 7 + 161$

Schritt 3.4.2.1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $49$ .

$343 + 147 - 93 \cdot 7 + 161$

Schritt 3.4.2.1.3.5

Addiere $343$ und $147$ .

$490 - 93 \cdot 7 + 161$

Schritt 3.4.2.1.3.6

Mutltipliziere $- 93$ mit $7$ .

$490 - 651 + 161$

Schritt 3.4.2.1.3.7

Subtrahiere $651$ von $490$ .

$- 161 + 161$

Schritt 3.4.2.1.3.8

Addiere $- 161$ und $161$ .

$0$

Schritt 3.4.2.1.4

Da $7$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 7$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161}{x - 7}$

Schritt 3.4.2.1.5

Dividiere $x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$ durch $x - 7$ .

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Schritt 3.4.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$7$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$93 x$

$161$

Schritt 3.4.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$

Schritt 3.4.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			+	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Schritt 3.4.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 7 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Schritt 3.4.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

Schritt 3.4.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$

Schritt 3.4.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$

Schritt 3.4.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$70 x$

Schritt 3.4.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x^{2} - 70 x$

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$

Schritt 3.4.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$

Schritt 3.4.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$

Schritt 3.4.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 23 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$10 x$	-	$23$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$

Schritt 3.4.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$10 x$	-	$23$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$
							-	$23 x$	+	$161$

Schritt 3.4.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 23 x + 161$

				$x^{2}$	+	$10 x$	-	$23$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$
							+	$23 x$	-	$161$

Schritt 3.4.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$10 x$	-	$23$
$x$	-	$7$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$93 x$	+	$161$
			-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$93 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$70 x$
							-	$23 x$	+	$161$
							+	$23 x$	-	$161$
										$0$

Schritt 3.4.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 10 x - 23$

Schritt 3.4.2.1.6

Schreibe $x^{3} + 3 x^{2} - 93 x + 161$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) ((x - 7) (x^{2} + 10 x - 23)) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 3) (x - 7) (x^{2} + 10 x - 23) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 7 = 0$

$x^{2} + 10 x - 23 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.7

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 3.8

Setze $x^{2} + 10 x - 23$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x^{2} + 10 x - 23$ gleich $0$ .

$x^{2} + 10 x - 23 = 0$

Schritt 3.8.2

Löse $x^{2} + 10 x - 23 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.8.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 10$ und $c = - 23$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 23)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.8.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.2.3.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot - 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 23$ .

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Schritt 3.8.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 23}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 23$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 92}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.3

Addiere $100$ und $92$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.4

Schreibe $192$ als $8^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.8.2.3.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 10 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 8 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.8.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 10 \pm 8 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 5 \pm 4 \sqrt{3}$

Schritt 3.8.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 5 + 4 \sqrt{3}, - 5 - 4 \sqrt{3}$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x - 7) (x^{2} + 10 x - 23) = 0$ wahr machen.

$x = 3, 7, - 5 + 4 \sqrt{3}, - 5 - 4 \sqrt{3}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x^{4} - 2 x^{2} + 1} = 10 x - 22$ nicht erfüllen.

$x = 3, 7$