Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{1 + 18 \sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 + 18 \sqrt{x}}}^{2} = {(\sqrt{x} + 1)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + 18 \sqrt{x}}$ als ${(1 + 18 \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 + 18 \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x} + 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(1 + 18 \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + 18 \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + 18 \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x} + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + 18 \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x} + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + 18 \sqrt{x})}^{1} = {(\sqrt{x} + 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$1 + 18 \sqrt{x} = {(\sqrt{x} + 1)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{x} + 1)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{x} + 1)}^{2}$ als $(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)$ um.

$1 + 18 \sqrt{x} = (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + 18 \sqrt{x} = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) + 1 (\sqrt{x} + 1)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + 18 \sqrt{x} = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 (\sqrt{x} + 1)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + 18 \sqrt{x} = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + 18 \sqrt{x} = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + 18 \sqrt{x} = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + 18 \sqrt{x} = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + 18 \sqrt{x} = x^{1} + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$1 + 18 \sqrt{x} = x + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = x + \sqrt{x} + 1 \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = x + \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = x + \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1$

Schritt 2.3.1.3.2

Addiere $\sqrt{x}$ und $\sqrt{x}$ .

$1 + 18 \sqrt{x} = x + 2 \sqrt{x} + 1$

Schritt 3

Löse nach $\sqrt{x}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $\sqrt{x}$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Subtrahiere $2 \sqrt{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$1 + 18 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} = x + 1$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2 \sqrt{x}$ von $18 \sqrt{x}$ .

$1 + 16 \sqrt{x} = x + 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 \sqrt{x} = x + 1 - 1$

Schritt 3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$16 \sqrt{x} = x + 0$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$16 \sqrt{x} = x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $16 \sqrt{x} = x$ durch $16$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $16 \sqrt{x} = x$ durch $16$ .

$\frac{16 \sqrt{x}}{16} = \frac{x}{16}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \sqrt{x}}{16} = \frac{x}{16}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $\sqrt{x}$ durch $1$ .

$\sqrt{x} = \frac{x}{16}$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = {(\frac{x}{16})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{16})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{16})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{16})}^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{x}{16})}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{x}{16})}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(\frac{x}{16})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{16}$ an.

$x = \frac{x^{2}}{16^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$x = \frac{x^{2}}{256}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten mit $256$ .

$x \cdot 256 = \frac{x^{2}}{256} \cdot 256$

Schritt 6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Bringe $256$ auf die linke Seite von $x$ .

$256 x = \frac{x^{2}}{256} \cdot 256$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $256$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$256 x = \frac{x^{2}}{256} \cdot 256$

Schritt 6.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$256 x = x^{2}$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$256 x - x^{2} = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$256 u - u^{2} = 0$

Schritt 6.3.2.2

Faktorisiere $u$ aus $256 u - u^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $u$ aus $256 u$ heraus.

$u \cdot 256 - u^{2} = 0$

Schritt 6.3.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 256 + u (- u) = 0$

Schritt 6.3.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 256 + u (- u)$ heraus.

$u (256 - u) = 0$

Schritt 6.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (256 - x) = 0$

Schritt 6.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$256 - x = 0$

Schritt 6.3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3.5

Setze $256 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.1

Setze $256 - x$ gleich $0$ .

$256 - x = 0$

Schritt 6.3.5.2

Löse $256 - x = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.2.1

Subtrahiere $256$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 256$

Schritt 6.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 256$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 256$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 256}{- 1}$

Schritt 6.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 256}{- 1}$

Schritt 6.3.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 256}{- 1}$

Schritt 6.3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.5.2.2.3.1

Dividiere $- 256$ durch $- 1$ .

$x = 256$

Schritt 6.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (256 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 256$