Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{\log (x - 4)} = \log (x - 4)$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\log (x - 4)}}^{2} = \log^{2} (x - 4)$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\log (x - 4)}$ als ${\log (x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({\log (x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \log^{2} (x - 4)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({\log (x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({\log (x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\log (x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \log^{2} (x - 4)$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\log (x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \log^{2} (x - 4)$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log^{1} (x - 4) = \log^{2} (x - 4)$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$\log (x - 4) = \log^{2} (x - 4)$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\log^{2} (x - 4)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log (x - 4) - \log^{2} (x - 4) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Es sei $u = \log (x - 4)$ . Ersetze $u$ für alle $\log (x - 4)$ .

$u - u^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $u$ aus $u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 1 + u (- u)$ heraus.

$u (1 - u) = 0$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\log (x - 4)$ .

$\log (x - 4) (1 - \log (x - 4)) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\log (x - 4) = 0$

$1 - \log (x - 4) = 0$

Schritt 3.4

Setze $\log (x - 4)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $\log (x - 4)$ gleich $0$ .

$\log (x - 4) = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $\log (x - 4) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Schreibe $\log (x - 4) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{0} = x - 4$

Schritt 3.4.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.2.1

Schreibe die Gleichung als $x - 4 = 10^{0}$ um.

$x - 4 = 10^{0}$

Schritt 3.4.2.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x - 4 = 1$

Schritt 3.4.2.2.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 + 4$

Schritt 3.4.2.2.3.2

Addiere $1$ und $4$ .

$x = 5$

Schritt 3.5

Setze $1 - \log (x - 4)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $1 - \log (x - 4)$ gleich $0$ .

$1 - \log (x - 4) = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $1 - \log (x - 4) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \log (x - 4) = - 1$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \log (x - 4) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \log (x - 4) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \log (x - 4)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\log (x - 4)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2.2

Dividiere $\log (x - 4)$ durch $1$ .

$\log (x - 4) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\log (x - 4) = 1$

Schritt 3.5.2.3

Schreibe $\log (x - 4) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x - 4$

Schritt 3.5.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.4.1

Schreibe die Gleichung als $x - 4 = 10^{1}$ um.

$x - 4 = 10$

Schritt 3.5.2.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10 + 4$

Schritt 3.5.2.4.2.2

Addiere $10$ und $4$ .

$x = 14$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\log (x - 4) (1 - \log (x - 4)) = 0$ wahr machen.

$x = 5, 14$