Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{x + 5} - 2 x = 5$

Schritt 1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x + 5} = 5 + 2 x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + 5}}^{2} = {(5 + 2 x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 5}$ als ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 + 2 x)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + 2 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + 2 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 5)}^{1} = {(5 + 2 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$x + 5 = {(5 + 2 x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(5 + 2 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(5 + 2 x)}^{2}$ als $(5 + 2 x) (5 + 2 x)$ um.

$x + 5 = (5 + 2 x) (5 + 2 x)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(5 + 2 x) (5 + 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 5 = 5 (5 + 2 x) + 2 x (5 + 2 x)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 5 = 5 \cdot 5 + 5 (2 x) + 2 x (5 + 2 x)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 5 = 5 \cdot 5 + 5 (2 x) + 2 x \cdot 5 + 2 x (2 x)$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x + 5 = 25 + 5 (2 x) + 2 x \cdot 5 + 2 x (2 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x + 5 = 25 + 10 x + 2 x \cdot 5 + 2 x (2 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x + 5 = 25 + 10 x + 10 x + 2 x (2 x)$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x + 5 = 25 + 10 x + 10 x + 2 \cdot 2 x \cdot x$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$x + 5 = 25 + 10 x + 10 x + 2 \cdot 2 (x \cdot x)$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 5 = 25 + 10 x + 10 x + 2 \cdot 2 x^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x + 5 = 25 + 10 x + 10 x + 4 x^{2}$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $10 x$ und $10 x$ .

$x + 5 = 25 + 20 x + 4 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$25 + 20 x + 4 x^{2} = x + 5$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 + 20 x + 4 x^{2} - x = 5$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von $20 x$ .

$25 + 4 x^{2} + 19 x = 5$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 + 4 x^{2} + 19 x - 5 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $5$ von $25$ .

$4 x^{2} + 19 x + 20 = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 19$ und $c = 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 4 \cdot 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 20$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 16 \cdot 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $20$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.6.1.3

Subtrahiere $320$ von $361$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 19 \pm \sqrt{41}}{8}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{19 - \sqrt{41}}{8}, - \frac{19 + \sqrt{41}}{8}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{x + 5} - 2 x = 5$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{19 - \sqrt{41}}{8}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{19 - \sqrt{41}}{8}$

Dezimalform:

$x = - 1.57460947 \dots$